機械設計者の基礎知識4力学に触れよう。第2回　加速トルクの計算

本連載では、技術士の春山先生に、設計者の方へ向け材料力学・機械力学・熱力学・流体力学の「4力」について解説いただいています。実務で使用できる例題をご用意しているため、日々の業務に取り入れやすい内容です。

第二回は機械力学についてです。

【加速トルクの計算】

はじめに
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はじめに

機械設計を行う際、いくつかの機械要素を選定することがあります。この機械要素を選定するにあたっては、いくつかの力学の知識が必要となることがあります。

例えばモーターを使って何か物体を回そうとしたときに、必要な加速トルクを計算するためには回転の対象の慣性モーメントを計算する必要があります。

これは機械力学の知識に当たります。

本来、機械設計を行う者には基礎的な力学知識が必要なのです。

［１］ボールねじを使った搬送テーブルの加速トルクを計算してみよう。

モーターのトルク計算はその使い方、例えばワークを巻き上げるのか？ベルトコンベヤのようなものを駆動させるのか？ボールねじなどを使って直線運動させるのか？などによって計算式が多少異なります。詳細はメーカーのHPやカタログなどに記載があるのでそちらを参照していただくとして、ここではボールねじを使ってワークを直線運動させる場合を代表例として取り上げます。

［問題］

ボールねじを使った水平搬送に必要なトルクの計算

図2に示すようにモーター軸をカップリングを介してボールねじに繋ぎます。ボールねじの両サイドには直動ガイドがあり、ボールねじを回転させることでワークを載せた搬送テーブルが水平移動します。ワークを含めた水平搬送部の質量mは20kgとします。搬送のトップスピードは0.2m/s、停止～トップスピードまでの加速時間は0.2sとします。

設計初期段階で選定した機械要素のスペックは次の通りになりました。

(1)ボールねじのスペック

・リード 5㎜

・軸外径 15㎜

・ねじ長さ 750㎜

(2)モーターのスペック

・定格出力 50W

・定格トルク 0.159N・m

・回転子慣性モーメント

0.0665×10^-4kg・m²

(3)カップリングのスペック

・許容トルク 1N・m

・慣性モーメント

0.021×10^-4kg・m²

＊直動ガイドによるロスは今回は考慮せず、あくまで回転体に着目します。

以上のような条件のとき、モータートルクは十分足りているでしょうか？

⇩

［ポイント］

加速トルクの計算式

Ta［N・m］=J［kg・m²］×α[rad/s²]

［解答］

加速トルクTaはポイントで示した通り、次式で与えられます。

J：慣性モーメント（kg・m²）

α：角加速度（rad/ s²）

＊慣性モーメントのことをイナーシャIと表現することもありますが、正確には慣性モーメント≠イナーシャです。詳しくは次項で解説します。

ここで問題の系の場合の慣性モーメントは、次のそれぞれの要素の慣性モーメントを求めてそれらを足し合わせたものとなります。

(1)水平搬送部の慣性モーメント

ワークや搬送テーブル、あるいはそれらの付属部品など、水平移動する部品全ての重量から求める慣性モーメントになります。

(2)ボールねじの慣性モーメント

ボールねじのカタログに記載がある場合もありますが、ない場合はボールねじを円筒物体として算出します。

(3)カップリングの慣性モーメント

カップリングのカタログに記載がある場合もありますが、ない場合はカップリングを円筒物体として算出します。

今回の場合、スペックにカップリングの慣性モーメントの記載があるためこれを利用します。

(4)モーター回転子の慣性モーメント

モーターカタログに記載があります。

(3)、(4)はスペックに記載があるので、(1)と(2)を算出していきます。

(1)水平搬送部の慣性モーメントJh

P：ねじリード　5×10^-3［m］

(2)ボールねじの慣性モーメントJb

ボールねじをφ15、長さ750の円筒状の物体と考えます。

まずはボールねじの質量mbを求めます。材質は鉄系、密度を7.85×10³kg/m³ とします。

よって慣性モーメントは次の通りです。

(3)カップリングの慣性モーメントJc

スペックからJc =0.021×10^-4kg・m

(4)モーターの慣性モーメントJm

スペックからJm=0.0665×10^-4kg・m²

以上から、この系全体の慣性モーメントJa

この慣性モーメントJaを用いて加速トルクTaを求めます。

ここで、αは角加速度[rad/s²]であり、回転数N[rpm]との関係は角速度ω[rad/s]と加速時間ta[s]を用いて次の通りになります。

よって加速トルクは次式のように変形されます。

さてここで、加速時間taは0.2、トップスピードは0.2m/sと与えられています。これらから回転数N[rpm]を算出します。

・トップスピード　 0.2m/s

・ねじリード 5mm

∴トップスピード時の回転数Nは

となります。よって加速トルクは次の通りです。

これを仮で選定したモーターの定格トルクやカップリングの許容トルクと比較して、それらのトルクを超えてしまっている場合は再度選定し直しになります。今回の場合の各許容トルクは以下の通りであり、他のロスを考慮しなくてよいならば特に問題ありません。

モーター定格トルク 0.159N・m

カップリング許容トルク 1N・m

よって特に問題はありません。

[2]慣性モーメント／イナーシャ／はずみ車効果の違いについて

以上で見たようにモーター選定に当たり慣性モーメントは非常に重要なパラメータになります。また、先に述べたようにモーターの使い方によるトルク計算方法はメーカーサイトやカタログを見れば書いてあります。しかしいざ調べてみようとすると、3つの指標が出てきます。それば「慣性モーメント」「イナーシャ」「はずみ車効果」です。

この3者はともに物体の回転しにくさを表しています。しかしそれぞれ厳密には定義が異なります。さらにややこしいことに、単位系の取り方によっては同じ計算結果になったり異なる結果になったりします。

ここでそれぞれの定義について確認しておきます。

(1)慣性モーメントJ